Problem

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence
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Solution-1 DP

缓存以nums[j]结尾的最长子序列的长度，每次从前面找，时间复杂度是平方

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> length(nums.size(), 1);
        int max_len = 0;

        for (int i = 0; i < (int)nums.size(); ++i) {
            int max_prefix_len = 0;
            for (int j = i - 1; j > -1; --j) {
                if (nums[i] > nums[j]) 
                    max_prefix_len = max(max_prefix_len, length[j]);
            }
            length[i] = max_prefix_len + 1;
            max_len = max(max_len, length[i]);
        }

        return max_len;
    }
};

Solution-2 DP + Binary Search

直接维护当前的最长递增序列, 利用二分查找实现插入和修改序列

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        vector<int> prefix(nums.size(), 0);
        int max_len = 0;
        int length = 0;

        for (size_t i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            auto pos = lower_bound(prefix.begin(), prefix.begin() + length, nums[i]);
            *pos = nums[i];
            if (pos == prefix.begin() + length) {
                ++length;
            }

            max_len = max(max_len, length);
        }

        return max_len;
    }
};