算法层面上

我们假设输入数据的 shape 为 $(N \times C \times H \times W)$, Filter 的 shape 为 $(M \times C \times R \times S)$. 同时设 padding 的大小为 $P$, stride 为 $d$.

现在我们只考虑一个 channel 上的卷积核和输入进行计算，即 $(H\times W)$ 和 $(R\times S)$，同时只考虑在 $H, R$ 这个空间维度上的计算，另一个空间维度与之类似。显然第 0 次计算的区间为 $[0, R-1]$. stride 为 $S$, 则第 $k$ 次计算的区间为 $[kd, R-1 + kd]$. 假设 $k$ 就是最后一次计算，显然应该有

$$\begin{split} R - 1 + kd &\leq H + 2P \\ R - 1 + (k+1)d &> H + 2P \end{split}$$

为了简单起见我们将 padding 直接算进空间尺度中去，即 $H \leftarrow H + 2P $. 那么得到

$$k \in \left( \frac{H - R + 1}{d} - 1, \frac{H - R + 1}{d} \right]$$

因为我们的计算是从第 0 次到第 $k$ 次，所以总计算次数是 $k+1$. 得到

$$k+1 \in \left( \frac{H - R + 1}{d}, \frac{H - R + 1}{d} + 1 \right]$$

这个不等式对于整数而言就是向下取整，代码中直接可以写成 $H_{new} = \frac{H + 2P - R + 1}{d} + 1$

得到

$$\begin{split} H_{new} &= \frac{H + 2P - R + 1}{d} + 1 \\ W_{new} &= \frac{W + 2P - S + 1}{d} + 1 \end{split}$$

实现层面上

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